MỤC LỤC

5.3 Giải các phương trình

Để khám phá việc vũ trụ có thể tiến hóa như thế nào, chúng ta cần một vài ý tưởng về những thứ đang chứa bên trong nó. Trong một bức tranh vũ trụ học, việc này được hoàn thành bằng cách xác định mối liên hệ giữa mật độ khối lượng {dpi{120}\rho} và áp suất p. Mối liên hệ này được gọi là Phương trình trạng thái. Tại điểm này, chúng ta chỉ nên xem xét hai khả năng.

  • Vật chất: Trong bức tranh này, thuật ngữ "vật chất" được dùng bởi các nhà vũ trụ học như là một cách viết tắt của "vật chất phi tương đối", và ám chỉ đến bất cứ loại vật liệu nào với áp suất không đáng kể, p = 0. Sự cẩn thận là cần thiết để tránh nhầm lẫn giữa "vật chất" được dùng ở đây, và "vật chất" được dùng để chỉ tất cả vật chất cả phi tương đối hay tương đối. Một vũ trụ không áp suất là một giả định đơn giản nhất. Nó là một sự ước lượng tốt để dùng cho các nguyên tử trong vũ trụ một khi nó nguội đi, khi chúng khá tách biệt và hiếm khi xảy ra tương tác, và nó cũng là một diễn giải tốt về tập hợp các thiên hà trong vũ trụ, khi chúng không có tương tác ngoại trừ tương tác hấp dẫn. Thỉnh thoảng thuật ngữ "bụi" cũng được dùng thay cho "vật chất".
  • Bức xạ: Các hạt ánh sáng di chuyển với vận tốc ánh sáng. Động năng của chúng tạo ra một áp lực, gọi là áp suất bức xạ, theo lý thuyết chuẩn của bức xạ có thể biểu diễn bằng công thức {dpi{120}p=\rho c^{2}/3}. Tổng quát hơn, bất cứ hạt nào chuyển động ở vận tốc tương đối tính cao thì sẽ có phương trình trạng thái này, các hạt neutrino là một ví dụ rõ ràng.

5.3.1 Vật chất

Chúng ta bắt đầu bằng việc giải quyết phương trình chất lưu, đang ở chế độ p = 0 đối với vật chất. Một cách thông minh để giải quyết nó là viết lại phương trình, như bên dưới:

{dpi{150}\dot{\rho}+3 \frac{\dot{a}}{a}\rho=0 \Rightarrow \frac{1}{a^{3}}\frac{d}{dt}(\rho a^{3})=0\Rightarrow \frac{d}{dt}(\rho a^{3})=0}          (5.11)

mặc dù người ta cũng có thể giải quyết nó một cách chính thống bằng cách xem đó là một phương trình tách biến.

Phép tích phân cho chúng ta biết rằng {dpi{120}\rho a^{3}} có giá trị bằng một hằng số, ví dụ:

{dpi{150}\rho \propto \frac{1}{a^{3}}}          (5.12)

Đây không phải là một kết quả gây ngạc nhiên. Nó cho thấy mật độ giảm xuống theo tỷ lệ thể tích của vũ trụ. Nói một cách tự nhiên rằng, nếu thể tích của vũ trụ tăng lên theo hệ số 2, thì mật độ vật chất phải giảm xuống bởi cùng hệ số đó. Cuối cùng, vật chất không thể đến từ hư không, và sẽ không còn áp suất để có thể làm bất cứ việc gì.

Các phương trình chúng ta đang giải quyết (với k = 0) có sự đối xứng rất hữu ích; dạng phương trình này không thay đổi khi chúng ta nhân hệ số quy mô a với một hằng số, khi mà chỉ có sự kết hợp {dpi{120}\frac{\dot{a}}{a}} hiện diện. Điều này có nghĩa là chúng ta thoải mái để tái quy mô a(t) theo cách chúng ta chọn, và một quy ước thông thường là chọn a = 1 tại thời điểm hiện tại. Với sự lựa chọn này thì hệ quy chiếu vật lý và hệ quy chiếu đồng chuyển động là trùng hợp tại thời điểm hiện tại, khi {dpi{120}\vec{r}=a\vec{x}}. Xuyên suốt quyển sách này tôi sẽ dùng ký hiệu phụ "0" để chỉ giá trị hiện tại của các định lượng. Theo đó, mật độ hiện tại {dpi{120}\rho_{0}} được cố định với một hằng số tỷ lệ:

{dpi{150}\rho=\frac{\rho_{0}}{a^{3}}}          (5.13)

Phải giải quyết sự tiến hóa của mật độ theo quy luật của a, chúng ta lúc này phải tìm hiểu cách a thay đổi theo thời gian bằng cách sử dụng phương trình Friedmann. Thay thế {dpi{120}\rho}, và nhớ rằng chúng ta đang giả định k=0, ta có:

{dpi{150}\dot{a}^{2}=\frac{8\pi G\rho_{0}}{3}\frac{1}{a}}          (5.14)

Đối mặt với một phương trình như thế này, chúng ta có thể sử dụng các kỹ thuật chính thống để giải quyết nó (phương trình tách biến, cho phép nó có thể được áp dụng phép tích phân), hoặc cách khác là có thể đoán kết quả theo kinh nghiệm rồi xác nhận bằng cách thay thế vào. Trong vũ trụ học, một phép đoán theo kinh nghiệm tốt thường là một hàm mũ {dpi{120}a\propto t^{q}}. Thay thế vào phương trình, vế trái là thời gian độc lập {dpi{120}t^{2q-2}} và vế phải là {dpi{120}t^{-q}}. Điều này chỉ có thể trở thành giải pháp nếu sự xếp đôi này, với {dpi{120}q=2/3}, và do đó đáp án là {dpi{120}a \propto t^{2/3}}. Khi chúng ta cố định a = 1 tại thời điểm hiện tại {dpi{120}t = t_{0}}, đáp án đầy đủ theo đó sẽ là:

{dpi{150}a(t)=\left ( \frac{t}{t_{0}} \right )^{2/3} ;\;\;\;\rho(t)=\frac{\rho_{0}}{a^{3}}=\frac{\rho_{0}t_{0}^{2}}{t^{2}}}          (5.15)

Trong giải pháp này, Vũ trụ sẽ giãn nở mãi mãi, nhưng tỷ lệ giãn nở H(t) sẽ giảm theo thời gian:

{dpi{150}H\equiv \frac{\dot{a}}{a}=\frac{2}{3t}}          (5.16)

sự giảm tỷ lệ này trở nên vô cùng chậm khi vũ trụ vô cùng già. Lưu ý rằng dù có lực hút của hấp dẫn, thì vật chất trong Vũ trụ không thể tái hợp mà vẫn giãn nở mãi mãi.

Đây là một trong những đáp án của vũ trụ học cổ điển, và sẽ được sử dụng xuyên suốt cuốn sách này.

5.3.2 Bức xạ

Bức xạ tuân thủ theo quy luật {dpi{120}p=\rho c^{2}/3}. Kết quả là, phương trình chất lưu bị thay đổi từ trường hợp vật chất chiếm ưu thế, trở thành:

{dpi{150}\dot{\rho}+4\frac{\dot{a}}{a}\rho=0}          (5.17)

Phương trình này cũng tuân theo thủ thuật như ở trên, với {dpi{120}a^{3}} được thay bởi {dpi{120}a^{4}} trong phương trình (5.11), ta có:

{dpi{150}p\propto \frac{1}{a^{4}}}          (5.18)

Tiếp tục với cùng phân tích chúng ta đã thực hiện với trường hợp vật chất chiếm ưu thế, ta có:

{dpi{150}a(t)=\left ( \frac{t}{t_{0}} \right )^{1/2} \;\; ; \;\; \rho(t)=\frac{\rho_{0}}{a^{4}}=\frac{\rho_{0}t_{0}^{2}}{t^{2}}}          (5.19)

Đây là đáp án thứ 2 của vũ trụ học cổ điển.

Lưu ý rằng Vũ trụ giãn nở chậm hơn nhiều nếu bức xạ chiếm ưu thế so với vật chất chiếm ưu thế, do hệ quả của sự giảm tốc tăng thêm từ các nguồn cung cấp áp suất - xem phương trình (3.18). Do đó nó hoàn toàn sai khi nghĩ rằng áp suất bằng cách nào đó đang "thổi" vào vũ trụ. Tuy nhiên, trong mỗi trường hợp mật độ của vật chất giảm theo {dpi{120}t^{2}}.

Tốt hơn hết chúng ta xem xét sự suy giảm của mật độ bức xạ theo thể tích một cách cẩn thận. Nó giảm xuống theo hàm mũ bậc 4 của hệ số quy mô. Ba trong số các hàm mũ này đã được chỉ ra là sự gia tăng thể tích, dẫn đến sự suy giảm tự nhiên về mật độ. Hàm mũ cuối cùng lại đến từ một hiệu ứng khác, sự kéo giãn của bước sóng ánh sáng. Khi mà sự kéo giãn này tỷ lệ thuận với a, và năng lượng của bức xạ tỷ lệ thuận với tần số của nó thông qua {dpi{120}E=hf}, thì kết quả này trong sự tụt giảm sau này của năng lượng còn lại hàm mũ của a. Sự suy giảm năng lượng này là chính xác với hiệu ứng dịch chuyển đỏ mà chúng ta dùng để đo khoảng cách.

Mức độ giảm của mật độ bức xạ cũng có sự diễn giải theo quy luận của nhiệt động lực học, ở tầm vĩ mô chứ không phải là vi mô. Khi Vũ trụ trong trường hợp này có một áp suất, khi nó giãn nở thì có một công được thực hiện cho bởi {dpi{120}pdV}, đúng với cách khi mà công được thực hiện trong một ống piston khi khí được phép giãn nở và nguội đi. Công này được thực hiện liên quan đến sự suy giảm của mật độ bức xạ bởi hệ số cuối cùng của a.

5.3.3 Hỗn hợp

Một trường hợp phổ biến hơn là khi chúng ta kết hợp cả vật chất và bức xạ. Như vậy chúng ta sẽ có hai phương trình chất lưu, một phương trình dành cho vật chất ({dpi{120}\rho_{mat}}) và phương trình còn lại dành cho bức xạ ({dpi{120}\rho_{rad}}). Thủ thuật cho phép chúng ta viết {dpi{120}\rho} như một hàm của a vẫn hoạt động, do vậy chúng ta vẫn có:

{dpi{150}\rho_{mat} \propto \frac{1}{a^{3}} \;\;\; ; \;\;\; \rho_{rad}\propto\frac{1}{a^{4}}}          (5.20)

Tuy nhiên, lúc này chúng ta vẫn chỉ có một phương trình Friedmann (bởi sau tất cả thì chúng ta vẫn chỉ có 1 vũ trụ!):

{dpi{150}\rho=\rho_{mat}+\rho_{rad}}          (5.21)

Điều này có nghĩa là hệ số quy mô có một thuộc tính phức tạp hơn, do đó để chuyển đổi từ {dpi{120}\rho(a)} thành {dpi{120}\rho(t)} trở nên khó hơn nhiều. Vẫn có thể có được đáp án chính xác cho trường hợp này, nhưng chúng rất rườm rà do đó tôi không đưa chúng vào đây. Thay vào đó, tôi sẽ xem xét trường hợp đơn giản hơn khi một trong hai giá trị mật độ này lớn hơn nhiều so với cái còn lại.

Trong trường hợp đó, chúng ta có thể nói rằng phương trình Friedmann được giải quyết chính xác bằng cách thêm vào một thành phần chiếm ưu thế. Đó là, chúng ta sử dụng hệ số giãn nở mà chúng ta đã phát hiện. Lấy ví dụ, giả sử bức xạ là chiếm ưu thế, thì các phương trình sẽ là:

{dpi{150}a(t)\propto t^{1/2}\;\;\; ;\;\;\;\rho_{rad}\propto\frac{1}{t^{2}}\;\;\; ;\;\;\;\rho_{mat}\propto\frac{1}{a^{3}}\propto\frac{1}{t^{3/2}}}          (5.22)

Lưu ý rằng mật độ vật chất suy giảm chậm hơn nhiều so với mật độ bức xạ. Do đó trường hợp bức xạ chiếm ưu thế không thể giữ mãi mãi; như vậy một thành phần nhỏ của vật chất cuối cùng sẽ trở thành thành phần chiếm ưu thế. Chúng ta có thể nói rằng sự chiếm ưu thế trong vũ trụ của bức xạ là trường hợp không bền.

Ở trường hợp còn lại, khi mà vật chất chiếm ưu thế, chúng ta có đáp án như sau:

{dpi{150}a(t)\propto t^{2/3}\;\;\; ;\;\;\;\rho_{rad}\propto\frac{1}{t^{2}}\;\;\; ;\;\;\;\rho_{mat}\propto\frac{1}{a^{4}}\propto\frac{1}{t^{8/3}}}          (5.23)

Vật chất chiếm ưu thế là trường hợp bền, vật chất sẽ tăng dần ưu thế so với bức xạ khi thời gian qua đi.

Vật Lý Thiên Văn - Chia sẻ niềm đam mê!

Hình 5.2 Đồ thị mô tả sự tiến hóa của Vũ trụ chứa bức xạ và vật chất. Một khi vật chất chiếm ưu thế thì hệ số giãn nở tăng lên, do đó mật độ giảm nhanh hơn theo thời gian.

Hình 5.2 cho thấy sự tiến hóa của vũ trụ chứa vật chất và bức xạ, với bức xạ ban đầu đang chiếm ưu thế. Cuối cùng thì vật chất chiếm ưu thế, và khi điều đó xảy ra, hệ số giãn nở tăng lên từ quy luật {dpi{120}a(t)\propto t^{1/2}} đến quy luật {dpi{120}a(t)\propto t^{2/3}}. Rất có khả năng đây là trường hợp đang được áp dụng cho Vũ trụ hiện tại của chúng ta, chúng ta sẽ xem xét điều đó ở Chương 11.

Còn tiếp...

Author: Hien PHAN
Cựu thành viên CLB Thiên văn học Đà Nẵng - DAC; Nghiên cứu sinh ngành Vật lý thiên văn tại APC Laboratory, Paris Diderot University, Cộng hòa Pháp.


Bài viết xem nhiều