Bây giờ chúng ta xem xét ý nghĩa thực sự của hằng số k trong phương trình của Friedmann:

Trong khi phép đạo hàm Newton ở chương cuối giới thiệu đây như là một phép đo của năng lượng trên mỗi hạt, thì cách giải thích đúng và rõ ràng trong thuyết tương đối tổng quát cho rằng nó đo đạc độ cong của không gian. Thuyết tương đối tổng quát nói với chúng ta rằng hấp dẫn là do sự cong của 4 chiều không - thời gian, và một phân tích đầy đủ có thể tìm thấy trong bất cứ sách về thuyết tương đối tổng quát nào. Ở đây tôi sẽ đơn thuần trình bày và tập trung vào việc giải thích hằng số k khi đo sự cong của ba chiều không gian. Các thông tin chi tiết hơn của vũ trụ học tương đối tổng quát có thể tìm thấy trong Phần mở rộng 1.

Chúng ta yêu cầu mô hình vũ trụ phải đồng nhất và đẳng hướng. Dạng hình học đơn giản nhất có thể có những tính chất này được gọi là một hình phẳng, trong đó các định luật thông thường của hình học Euclidean được áp dụng. Tuy nhiên, yêu cầu về tính đẳng hướng là không đủ để xem nó như là lựa chọn duy nhất. Thay vào đó, có ba khả năng hình học của vũ trụ, và chúng liên quan đến hằng số k bằng 0, lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0.

4.1 Vũ trụ phẳng

Hình học Euclidean dựa trên các định luật đơn giản (ví dụ: một đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm), cộng thêm một định luật phức tạp hơn nói về các đường thẳng song song luôn giữ khoảng cách cố định. Đây là cơ sở của các luật tiêu chuẩn của hình học, và hướng đến các kết luận sau:

- Tổng các góc trong một tam giác bằng 180°.
- Chu vi của một đường tròn có bán kính r là 2πr.

Một cấu trúc hình học như vậy có thể áp dụng tốt vào vũ trụ của chúng ta. Trong trường hợp này, vũ trụ phải có phạm vi vô hạn, bởi vì nếu nó có giới hạn thì sẽ vi phạm nguyên tắc là vũ trụ phải giống nhau tại mọi điểm ^[1].

Một vũ trụ có cấu trúc hình học như vậy thường được gọi là một vũ trụ phẳng.

4.2 Vũ trụ cầu

Euclid luôn hy vọng rằng nhiều tiên đề chính thức của ông sẽ được chứng minh từ những người khác. Điều đó đã không xảy ra cho đến tận thế kỷ thứ 19 khi mà Riemann đã chứng minh được tiên đề chính thức của Euclid là sự lựa chọn tùy ý, và người ta có thể tạo ra các giả định khác. Khi làm như vậy, ông đã phát minh ra hình học phi Euclid, hình thành nên nền tảng toán học cho lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein.

Dạng đơn giản nhất của hình học phi Euclid rất gần gũi với chúng ta; nó là dạng hình học cầu mà chúng ta đang thường xuyên tiếp xúc, ví dụ là việc di chuyển quanh Trái Đất chẳng hạn. Trước khi quan tâm đến vấn đề vũ trụ ba chiều, hãy kiểm tra các tính chất bề mặt hai chiều của Trái Đất, hiển thị trong Hình 4.1.

Đầu tiên, chúng ta biết rằng một hình cầu hoàn hảo trông giống nhau từ mọi điểm trên bề mặt của nó, do đó, điều kiện đẳng hướng được thỏa mãn (ví dụ: nếu có ai đó đưa cho bạn một quả bóng bida - snooker và hỏi bạn đâu là chiều dựng đứng của nó, bạn sẽ không thể trả lời họ). Nhưng, không giống như trường hợp của hình học phẳng, bề mặt cầu lại hoàn toàn có phạm vi hữu hạn, diện tích của nó là 4/πr². Tuy nhiên nó không có ranh giới, không hề có "cạnh" của bề mặt Trái Đất. Do đó nó hoàn toàn có thể có bề mặt hữu hạn mà vẫn không có ranh giới.

Nếu chúng ta vẽ các đường song song trên một hình cầu, chúng sẽ vi phạm tiên đề chính thức của Euclid. Định nghĩa một đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm, có nghĩa là các đường thẳng đó trong một hình cầu sẽ là các đường tròn lớn, chẳng hạn như đường xích đạo hay các đường kinh tuyến ^[2]. Các đường kinh tuyến là một ví dụ tuyệt vời cho sự vi phạm của tiên đề Euclid; khi chúng cắt ngang đường xích đạo thì chúng hoàn toàn song song với nhau, nhưng thay vì giữ một khoảng cách cố định, chúng lại gặp nhau tại cả hai cực.

Nếu chúng ta vẽ một tam giác trên hình cầu, chúng ta sẽ thấy tổng các góc không bằng 180°. Ví dụ dễ nhất để suy nghĩ về vấn đề này là ở Bắc Cực. Vẽ hai đường thẳng vuông góc tại cực bắc và kéo thẳng xuống xích đạo, Bạn sẽ thấy ngay mỗi đường cắt xích đạo 90°. Như vậy là bạn đã vừa vẽ một tam giác với cả ba góc bằng 90°, như trong Hình 4.1.

Chu vi của một đường tròn cũng không tuân theo quy luật thông thường. Giả sử chúng ta vẽ một đường tròn bán kính r từ tâm đặt tại Bắc Cực, và chúng ta chọn r sao cho đường tròn của chúng ta là đường xích đạo. Bán kính của đường tròn này, được đo tại bề mặt hình cầu, tương ứng với một phần tư đường tròn hoàn chỉnh bao quanh Trái Đất, do đó r = πR/2, trong đó R là bán kính của Trái Đất. Tuy nhiên, chu vi của đường tròn c được cho bởi công thức 2πR, thì ở đây thay vì sử dụng công thức thông thường, chúng ta có chu vi c = 4r cho đường tròn được vẽ tại xích đạo. Lúc này chu vi nhỏ hơn 2πr. Vấn đề 4.1 nhìn tại trường hợp tổng quát; lúc này bạn đã có thể thấy nó hữu ích để xem lướt qua hình ảnh ở trang 31.

Ở đây tôi chỉ xem xét các trường hợp đặc biệt, dễ dàng tính toán bằng đại số. Sự thật là bất kỳ tam giác hay đường tròn nào được vẽ ra, bạn sẽ luôn thấy:

• Tổng các góc của một tam giác lớn hơn 180°.
• Chu vi của đường tròn bé hơn2πr.

Hình 4.1 Phác hoạ bề mặt một hình cầu, đại diện cho trường hợp k dương. Một tam giác vẽ trên hình cầu này cho thấy cả ba góc bằng 90°.

Nếu bạn tạo ra các tam giác hay các đường tròn nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của Trái Đất, thì các định luật Euclidean vẫn cho kết quả xấp xỉ chính xác; chắc chắn chúng ta không phải lo lắng về việc các định luật Euclidean bị phá vỡ trong sự tồn tại hằng ngày của chúng ta (mặc dù việc xem xét Trái Đất là hình cầu lại rất quan trọng khi lên kế hoạch cho các chuyến đi dài). Vì vậy, một hình tam giác nhỏ vẽ trên một hình cầu sẽ có tổng các góc chỉ nhỉnh hơn 180° một chút. Tính chất này khiến việc đo đạc hình học trong vũ trụ của chúng ta trở nên khó khăn hơn, bởi vì khu vực lân cận là nơi chúng ta có thể đo đạc chính xác được lại chỉ là một phần nhỏ so với kích thước của vũ trụ, và do vậy sẽ gần như tuân theo các định luật Euclidean bất kể hình dạng tổng thể như thế nào.

Một trong những khái niệm quan trọng nhất mà bạn cần nắm bắt là vũ trụ ba chiều của chúng ta có thể có những tính chất chỉ như mặt phẳng hai chiều của hình cầu. Thật không may, bộ não của chúng ta không có điều kiện để suy nghĩ về ba chiều khi bị cong, do đó chúng ta phải làm việc bởi sự tương đồng với trường hợp hai chiều mà tôi vừa mô tả. Khi chúng ta nghĩ về mặt phẳng của hình cầu bị cong, chúng ta tự nhiên tưởng tượng đến hình cầu như một vật thể trong vũ trụ ba chiều của chúng ta, và nghĩ về nó khi bị cong trong ý nghĩa đó. Điều quan trọng là sự uốn cong đó là một tính chất của mặt phẳng hai chiều của bản thân hình cầu; các tam giác và các đường tròn có các tính chất mà tôi vừa mô tả được vẽ trên mặt phẳng. Một ứng dụng cổ điển của điều này được những người Hy Lạp cổ sử dụng, đó là áp dụng các luật này để suy luận rằng Trái Đất có hình cầu, và thậm chí còn thực hiện được phép ước lượng tốt về đường kính của hình cầu đó. Khi chúng ta thảo luận về cấu trúc hình học cầu, thực sự không cần phải nghĩ về nó như sự hiện hữu bên trong không gian ba chiều của chúng ta, và chúng ta phải nhớ khi thảo luận về hình học cầu, chúng ta đang giả định được giới hạn của mặt phẳng hình cầu, và không cho phép di chuyển ra khỏi bề mặt hoặc gần hơn hoặc xa hơn so với tâm tưởng tượng của nó.

Tất cả những điều này là một sự tương đồng đối với những gì có thể xảy ra với vũ trụ ba chiều của chúng ta. Sự tương đồng này của hình cầu hai chiều được gọi là mặt cầu ba chiều. Trong một sự kiện hiếm của không gian bốn chiều hiện có, người ta có thể hình dung độ cong của không gian ba chiều cũng chỉ cùng một cách mà chúng ta hình dung với không gian hai chiều. Tuy nhiên, cũng như khối cầu hai chiều, độ cong có thể có của không gian ba chiều là một tính chất nội tại và không có nhu cầu thực tế về môt không gian nhiều chiều hơn để nó tồn tại bên trong. Có được bức tranh đúng với tinh thần này là một thách thức lớn để hiểu vũ trụ của chúng ta.

Một vũ trụ hình cầu, như bề mặt của Trái Đất, có một kích thước giới hạn nhưng không có biên. Tất cả mọi điểm đều tương tự nhau. Nếu chúng ta sống trong một hình cầu, và di chuyển trên một đường thẳng, chúng ta sẽ không đi thẳng mãi mãi. Thay vào đó, chúng ta cuối cùng quay trở lại nơi chúng ta đã bắt đầu từ hướng ngược lại, chính xác theo cách mà một người di chuyển ra ngoài từ Cực Bắc của Trái Đất, cuối cùng quay trở về đó từ hướng ngược lại. Một vũ trụ tương ứng với việc chọn giá trị dương cho hằng số k xuất hiện trong phương trình Friedmann. Bởi vì các tính chất đặc biệt của hình cầu dựa vào độ cong của nó, cho nên k theo đó thường được gọi là quy luật độ cong. Một vũ trụ với K > 0 thường được gọi là một vũ trụ đóng (vũ trụ khép kín), bởi vì nó có kích thước giới hạn.

Hình 4.2 Phác họa của một bề mặt giống yên ngựa, đại diện cho hình học hyperbolic tạo thành khi k âm. Một tam giác được vẽ trên bề mặt này có tổng ba góc nhỏ hơn 180°.

4.3 Vũ trụ Hyperbolic

Lựa chọn cuối cùng là k âm. Hình học liên quan đến giá trị k này là hyperbolic, và nó gần như rất ít quen thuộc so với hình học cầu. Thông thường thì nó đại diện cho bề mặt giống yên ngựa như trong Hình 4.2; rất khó để nhìn thấy sự phù hợp với tính đẳng hướng nhưng thực tế lại là như vậy. Trong hình học hyperbolic, các đường song song không bao giờ gặp nhau - thực tế thì chúng phá vỡ định lý của Euclid bằng sự phân kỳ so với một đường song song khác.

Hành vi của hình học hyperbolic có thể dự đoán từ những gì chưa được trình bày trước đó: nó đi ngược lại so với hình học cầu. Chúng ta có:

• Tổng ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180°.
• Chu vi của một đường tròn lớn hơn2πr.

Bởi vì các đường song song không bao giờ gặp nhau, do đó vũ trụ phải mở rộng vô hạn, cũng như trường hợp hình học phẳng. Trường hợp  được gọi là một vũ trụ mở.

Bảng 4.1 Tóm tắt các khả năng của hình dáng vũ trụ.

Trong Chương 9 chúng ta sẽ khám phá loại hình học nào trong số này, được tóm tắt trong Bảng 4.1, là thích hợp nhất để giải thích về vũ trụ thực.

(Còn nữa...)

Chú thích:

[1] Thật ra, điều đó gần như là sự thật. Xem Phần mở rộng 1.3 để đi tắt đến kết luận của điều này.

[2] Hãy nhớ rằng, ngoài xích đạo, các đường vĩ tuyến không phải là đường thẳng; đó là lý do mà các máy bay không bay theo các đường vĩ tuyến, bởi đó không phải là đường đi ngắn nhất!

• MỤC LỤC - Vũ trụ học hiện đại