Trong chương 3 chúng ta đã thu được phương trình thỏa mãn bởi sự giãn nở của khí đẳng hướng. Chúng là phương trình Friedman [1] đã kiềm chế sự tiến hóa thời gian của hệ số tỷ lệ a(t):
Và phương trình chất lưu đã mang lại cho chúng ta sự tiến hóa của mật độ khối lượng ρ:
Tôi nhấn mạnh rằng, bất chấp đạo hàm Newtonian của chúng, thì đây là những phương trình thực sự được sử dụng bởi các nhà vũ trụ học, thường bắt nguồn từ các phương trình của thuyết tương đối tổng quát như mô tả trong Chủ đề mở rộng 1.
Chương này tìm kiếm và thảo luận một số nghiệm đơn giản của những phương trình này, là những phương trình sẽ được sử dụng rộng rãi trong cuốn sách. Tuy nhiên, trong khi những phương trình này có ứng dụng rộng lớn trong giai đoạn đầu của vũ trụ, thì chúng lại không đủ để mô tả trạng thái hiện tại của vũ trụ, do đó một thành phần mở rộng - gọi là hằng số vũ trụ học - là bổ sung cần thiết. Hằng số này sẽ được giới thiệu trong Chương 7.
Trước khi tìm các nghiệm cho những phương trình này, chúng ta có thể tìm hiểu hai ứng dụng của chúng.
5.1 Định luật Hubble
Phương trình Friedmann cho phép chúng ta giải thích khám phá của Hubble rằng vận tốc di chuyển ra xa tỷ lệ thuận với khoảng cách. Vận tốc rời xa này được cho bởi phương trình và trong cùng hướng với
, cho phép chúng ta viết lại:
Bước cuối cùng là sử dụng , hãy nhớ rằng vị trí đồng chuyển động
là một hằng số theo định nghĩa. Kết quả, định luật Hubble
nói với chúng ta rằng hằng số tỷ lệ, tức tham số Hubble, nên được định nghĩa bởi:
và giá trị đã đo được ngày nay có thể được ký hiệu thành H0 (thêm một số 0 nhỏ sau dưới chữ H). Bởi vì chúng ta đo đạc hằng số Hubble là dương thay vì âm, nên chúng ta biết vũ trụ đang giãn nở thay vì co lại.
Chúng ta nhận thấy từ đây rằng thuật ngữ "hằng số" Hubble có một chút gây hiểu nhầm. Mặc dù chắc chắn nó là hằng số trong không gian dựa theo nguyên tắc vũ trụ học, thì không có lý do nào nó trở thành hằng số theo thời gian được. Trong thực tế, sử dụng nó như là một ký hiệu gọn gàng hơn, chúng ta có thể viết phương trình Friedmann như là một phương trình tiến hóa dành cho H(t):
Cách tốt nhất là sử dụng "tham số Hubble" khi xem nó như một phương trình của thời gian, dùng "hằng số Hubble" cho giá trị tức thời của nó. Thông thường thì tham số Hubble giảm dần theo thời gian, chẳng hạn như sự giãn nở bị chậm lại do lực hút hấp dẫn của vật chất trong vũ trụ.
5.2 Sự giãn nở và dịch chuyển đỏ
Dịch chuyển đỏ của một dải phổ được chúng ta sử dụng để chứng minh giả thuyết về sự giãn nở của vũ trụ cũng có thể liên quan đến hệ số quy mô. Trong phép đạo hàm, một cách đơn giản hóa, tôi giả sử ánh sáng đi qua hai vật thể rất gần nhau, tách biệt nhau bởi một khoảng cách dr, như Hình 5.1. Tôi vẽ các vật thể như là các thiên hà, nhưng tôi thực sự xem chúng là hai điểm cạnh nhau. Theo định luật Hubble, vận tốc tương đối của chúng dv sẽ là:
Khi các điểm này ở cạnh nhau, chúng ta có thể áp dụng trực tiếp định luật Doppler để nói rằng sự thay đổi bước sóng giữa sóng bức xạ và sóng thu được, dλ ≡ λr - λe là
trong đó dλ dương khi giá trị của bước sóng tăng lên. Thời gian giữa sự bức xạ và sự tiếp nhận được cho bởi thời gian di chuyển của ánh sáng dt = dr/c, và đặt tất cả lại với nhau chúng ta có:
Tích phân phương trình trên và chúng ta tìm thấy ln λ = ln a + hằng số, ví dụ:
trong đó λ hiện nay là bước sóng tức thì đo đạc được tại bất cứ thời gian cho trước nào.
Hình 5.1: Một photon di chuyển một khoảng cách dr giữa hai thiên hà A và B.
Mặc dù kết quả này chỉ áp dụng cho các vật thể ở rất gần nhau, thì nó cũng hoàn toàn tổng quát (một nghiên cứu kỹ càng được cung cấp ở Chủ đề mở rộng 2). Nó nói với chúng ta rằng khi không gian giãn nở, các bước sóng trở nên dài hơn theo hướng tương ứng. Theo đó chúng ta có thể suy nghĩ bước sóng bị kéo giãn bởi sự giãn nở của Vũ trụ, và sự thay đổi của nó theo đó sẽ cho chúng ta biết Vũ trụ đã giãn nở được bao nhiêu kể từ khi ánh sáng bắt đầu cuộc hành trình của nó. Ví dụ, nếu bước sóng giãn nở gấp 2 lần, thì Vũ trụ phải có kích thước bằng một nửa kích thước hiện tại khi ánh sáng bắt đầu được phát ra.
Dịch chuyển đỏ được định nghĩa ở phương trình (2.1) liên quan đến hệ số quy mô bở phương trình sau:
và thông thường chỉ dùng để chỉ ánh sáng thu được bởi chúng ta tại thời điểm hiện tại.
_____________
[1] Để phù hợp với các thảo luận ở Chương 3.6, c2 ở thuật ngữ cuối cùng đã bị gỡ bỏ, do đó sự xuất hiện của nó phù hợp với các sách vũ trụ học khác.
Còn tiếp...
