Hấp dẫn Newton là cách hoàn hảo để nghiên cứu vũ trụ học nếu bạn chưa học về thuyết tương đối rộng. Thực tế, phương trình Friedmann là phương trình quan trọng nhất, nó mô tả sự giãn nở của vũ trụ. Phương trình này được suy ra cả khi sử dụng lý thuyết hấp dẫn của Newton hoặc lý thuyết tương đối rộng. Tuy nhiên, hấp dẫn Newton đôi khi rất là chặt chẽ và thuyết tương đối rộng sẽ làm đầy đủ thêm. Chúng ta sẽ không cần đến thuyết tương đối rộng trong chương này.
Đối với hấp dẫn Newton, tất cả vật chất sẽ hấp dẫn lẫn nhau, vật có khối lượng M sẽ gây ra một lực đối với một vật có khối lượng m được xác định bởi mối quan hệ nổi tiếng:
Với r là khoảng cách giữa các vật và G là hằng số hấp dẫn Newton. Bởi vì gia tốc của vật tỉ lệ thuận với khối lượng, F = ma, do đó gia tốc của một vật trong trường trọng lực sẽ không phụ thuộc vào khối lượng của nó.
Có lực tác dụng nghĩa là có một thế năng trọng lực:
Với lực tác dụng là theo hướng đó làm giảm thế năng nhanh nhất. Cũng giống như thế năng điện trường của hai điện tích ngược dấu, thế năng trọng lực là âm, "ưu tiên" đối với hai vật gần nhau. Nhưng lực hấp dẫn không có lực đẩy như điện tích. Lực hấp dẫn luôn là lực hút.
Phép đạo hàm của phương trình Friedmann yêu cầu đến một kết quả nổi tiếng được đưa ra bởi Newton, mà tôi sẽ không cố gắng để chứng minh ở đây. Kết quả này khẳng định rằng trong một phân bố đối xứng cầu của vật chất, một hạt không chịu tác dụng lực của vật chất nằm ngoài hình cầu, và vật chất ở bán kính nhỏ hơn bán kính hình cầu sẽ tác dụng cùng một lực chính xác tại một điểm nếu tất cả vật chất tập trung tại điểm trung tâm. Tính chất này là do lực hấp dẫn nghịch đảo với bình phương bán kính; kết quả tương tự đối với điện trường. Một ví dụ là việc lực hấp dẫn (hoặc lực điện từ) bên ngoài một vật hình cầu với mật độ chưa biết chỉ phụ thuộc vào tổng khối lượng (hoặc điện tích). Một dẫn chứng khác là một "phi hành gia" bên trong một hình cầu sẽ không chịu tác dụng của lực hấp dẫn, không chỉ tại tâm của hình cầu mà là mọi điểm bên trong hình cầu đó.
Hình 3.1 Hạt tại khoảng cách r chỉ chịu tác dụng của lực hấp dẫn trong vùng bóng mờ. Mọi tương tác hấp dẫn từ vật chất bên ngoài bị khử mất, theo lý thuyết Newton
3.1 Phương trình Friedmann
Phương trình Friedmann mô tả sự giãn nở của vũ trụ, và do đó nó là phương trình quan trọng nhất trong vũ trụ học. Một trong những nhiệm vụ hàng ngày của nhà vũ trụ học là chứng minh phương trình Friedmann với một giả thuyết khác liên quan đến vật chất của vũ trụ. Để có được phương trình Friedmann, chúng ta cần tính toán thế năng và động năng hấp dẫn của một hạt (nghiên cứu một hạt cũng là trường hợp tổng quát bởi vì tất cả mọi nơi trong vũ trụ là giống nhau dựa vào nguyên tắc vũ trụ học) và sau đó là sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.
Xét một người quan sát trọng một môi trường giãn nở đồng nhất, với khối lượng riêng là ρ, khối lượng riêng là khối lượng trên 1 đơn vị thể tích. Chúng ta bắt đầu nhận ra rằng bởi vì vũ trụ trông giống nhau từ mọi phía, chúng ta có thể xem bất kỳ mọi điểm đều là tâm. Bây giờ xét một hạt với khoảng cách r với khối lượng m, như trên Hình 3.1 [hạt ở đây nghĩa là một thể tích rất bé có khối lượng m]. Dựa vào lý thuyết Newton, hạt này chỉ chịu tác dụng một lực từ những vật chất nằm ở bán kính hình cầu, được thể hiện trong vùng bóng mờ.
Vật chất này có khối lượng là M=4πρr3/3, gây ra một lực:
Và hạt của chúng ta đang xem xét có một thế năng hấp dẫn:
Còn động năng thì phụ thuộc vào vận tốc của hạt ṙ (Tôi sẽ sử dụng dấu chấm để thể hiện đạo hàm theo thời gian):
Phương trình mô tả sự thay đổi khoảng cách r của hạt có thể suy ra từ định luật bảo toàn năng lượng cho hạt đó:
Với U là hằng số. Chú ý rằng U không nhất thiết phải giống nhau ở những khoảng cách khác nhau:
Phương trình này cho chúng ta thấy quy luật của sự thay đổi khoảng cách giữa hai hạt với nhau.
Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện một bước quan trọng để nhận ra rằng lý luận này có thể được áp dụng cho bất kỳ hai hạt nào đó, bởi vì vũ trụ là đồng nhất. Điều đó cho phép chúng ta thay đổi sang hệ quy chiếu khác, được biết đến là những hệ tọa độ Comoving (Comoving coordinates). Những điểm trên hệ tọa độ này được "mang theo" cùng với sự giãn nở. Bởi vì sự giãn nở là giống nhau, mối quan hệ giữa khoảng cách thực sự vector(r) và khoảng cách comoving vector(x), có thể được viết như sau:
Do thuộc tính của sự đồng nhất nên a chỉ là hàm số của thời gian mà thôi. Chú ý rằng những khoảng cách này là khoảng cách vector. Khi nghiên cứu phương trình này bạn nên nghĩ về một tọa độ lưới, cái mà mở rộng theo thời gian, được thể hiện trên hình 3.2. Những thiên hà được cố định trong hệ tọa độ vector(x) Hệ tọa độ vector(r) ban đầu thì không giãn nở và thường được gọi là những hệ tọa độ vật lý (physical coordinates).
Hình 3.2 Hệ tọa độ comoving được mang theo với sự giãn nở, do đó bất kỳ vật thể duy trì cố định giá trị tọa độ
Thừa số a(t) là một thừa số quan trọng, và được gọi là hệ số tỉ lệ của vũ trụ (scale factor of the Universe). Nó cho phép xác định tỉ lệ giản nở của vũ trụ. a(t) là một hàm số của thời gian, và nó cho chúng ta biết được sự thay đổi khoảng cách theo thời gian diễn ra như thế nào, bởi vì hệ tọa độ khoảng cách vector(x) được định nghĩa là cố định. Ví dụ, nếu giữa thời điểm t1 vaf t2, hệ số tỉ lệ là gấp đôi, sẽ cho chúng ta biết rằng vũ trụ sẽ mở rộng kích thước với hệ số 2 và đưa chúng ta cách xa hai lần từ thiên hà này đến thiên hà khác.
Chúng ta có thể sử dụng hệ số tỉ lệ để viết lại phương trình (3.7) cho sự giãn nở. Thay thế phương trình (3.8) và nhớ rằng vector(x) = 0 (định nghĩa đối tượng được cố định trong những hệ tọa độ comoving), ta có:
Nhân hai vế cho 2/ma2x2 và sắp xếp lại các thừa số ta được:
Với kc2=-2U/mx2. Nó là phương trình Friedmann chuẩn, và nó sẽ xuất hiện thường xuyên trong cuốn sách này. Trong đó k không phụ thuộc vào x bởi vì tất cả những thừa số khác trong biểu thức, nếu không tính đồng nhất sẽ không còn đúng nữa. Thực tế, chúng ta biết rằng tính đồng nhất quy định giá trị của U, trong khi hằng số cho một hạt đang quan sát thay đổi nếu chúng ta xem xét tại những tọa độ x khác nhau, với U ∝ x2.
Cuối cùng, bởi vì k=-2U/mc2x2 độc lập với thời gian (vì năng lượng toàn phần là bảo toàn, và khoảng cách comoving x là cố định), chúng ta biết rằng k chỉ là một hằng số, không thay đổi theo không gian hoặc thời gian. Nó có đơn vị là [chiều dài]-2. Một vũ trụ giãn nở có một giá trị đặc biệt của k, nó được duy trì trong suốt sự phát triển của vũ trụ. Trong chương 4, chúng ta sẽ thấy rằng k cho chúng ta biết về hình học của vũ trụ và nó thường được gọi là độ cong.
3.2 Ý nghĩa của sự giãn nở
Vậy, ý nghĩa của sự giãn nở của vũ trụ là gì? Hãy bắt đầu với việc là nó không có ý nghĩa gì cả. Nó không có nghĩa rằng hình thái của bạn lớn lên từ từ theo thời gian (và chắc chắn rằng không có một lý do gì nếu nó tồn tại). Nó không có nghĩa là quỹ đạo của Trái đất sẽ đi xa Mặt trời hơn. Và nó cũng không có nghĩa rằng là những ngôi sao bên trong thiên hà của chúng ta sẽ cách xa hơn cùng với thời gian.
Nhưng nó có nghĩa rằng khoảng cách giữa những thiên hà sẽ ngày càng xa hơn.
Sự khác biệt là việc có hay không có sự chuyển động của các đối tượng được điều chỉnh bởi tổng lực hấp dẫn của vật chất phân phối đồng nhất giữa chúng, như thể hiện trong hình 3.1. Các nguyên tử trong cơ thể của bạn thì không phải như vậy; khoảng cách của chúng được quyết định bởi sức mạnh của những liên kết hóa học, trọng lực ở đây không có vai trò quan trọng. Vì vậy, cấu trúc phân tử sẽ không bị ảnh hưởng bởi sự giãn nở. Tương tự như vậy, chuyển động của trái đất trong quỹ đạo của nó là hoàn toàn bị chi phối bởi lực hấp dẫn của Mặt Trời (với một đóng góp nhỏ từ các hành tinh khác). Và ngay cả các ngôi sao trong thiên hà của chúng ta cũng đang quay xung quanh quỹ đạo trong một trường thế hấp dẫn mà chính họ tạo ra, và không di chuyển ra xa tương đối với những ngôi sao khác. Đặc điểm chung của những môi trường này là có mật độ lớn, rất khác so với phân phối đều của vật chất mà chúng ta đã sử dụng để suy ra phương trình Friedmann.
Nhưng nếu chúng ta sử dụng đến tỉ lệ đủ lớn, chẳng hạn là hàng chục megaparsec, vũ trụ sẽ trở nên đẳng hướng và đồng nhất, với những dải thiên hà "bay" ra xa dần so với những thiên hà khác tuân theo phương trình Friedmann. Trong những tỉ lệ lớn như vậy sự giãn nở của vũ trụ sẽ được cảm nhận, và với điều kiện áp dụng nguyên tắc vũ trụ.
(Còn tiếp...)
