Vũ trụ học hiện đại - Chương 3: Hấp dẫn Newton (2)

Banner được lưu thành công.: Chuyên mục: Khái niệm Vũ trụ học & Vật lý Thiên văn; By Lê Ngọc Trẫm; 29.Dec

Đọc tiếp

3.3 Những thứ chuyển động nhanh hơn ánh sáng

Một câu hỏi phổ biến là những thiên hà ở xa sẽ chuyển động ra xa chúng ta nhanh hơn tốc độ ánh sáng hay không? Có nghĩa là, nếu vận tốc tỉ lệ thuận với khoảng cách, và nếu chúng ta xét với những thiên hà đủ xa thì chúng ta có thể có vận tốc lớn như vậy hay không, trong sự vi phạm của thuyết tương đối hẹp?

Câu trả lời thực tế nằm trong lý thuyết của chúng ta, khoảng cách giữa các vật thể có thể xuất hiện để di chuyển nhanh hơn vận tốc của ánh sáng. Tuy nhiên, không gian của chính nó cũng đang giãn nở. Không có vi phạm gì ở đây, bởi vì không có tín hiệu nào có thể truyền giũa những thiên hà này. Thuyết tương đối hẹp không bị vi phạm, bởi vì nó liên quan đến vận tốc tương đối của vật thể di chuyển ngang qua nhau, và không thể được dùng để so sánh vật tốc tương đối của những vật thể ở xa.

Một cách để nghĩ về điều này là tưởng tượng một đàn kiến trên một quả bóng. Giả sử rằng tốc độ nhanh nhất của những con kiến là 1 cm trên giây. Nếu bất kỳ hai con kiến chuyển động qua nhau, tốc độ tương đối nhanh nhất chỉ là 2 cm trên giây, nếu chúng di chuyển ngược nhau. Bây giờ bắt đầu thổi quả bóng lên. Mặc dù những con kiến vẫn còn bò xung quanh bề mặt của quả bóng, thì cũng không thể vượt quá 1 cm trên giây, quả bóng bây giờ đang giãn nở ngay bên dưới chúng, và những con kiến đang di chuyển xa nhau bên trên quả bóng có thể dễ dàng di chuyển ra xa với vận tốc nhanh hơn 2 cm trên giây nếu quả bóng được thổi đủ nhanh. Nhưng nếu là vậy, chúng sẽ không bao giờ nói cho chúng biết lẫn nhau về điều đó, bởi vì quả bóng đang kéo chúng ra xa nhanh hơn chúng có thể di chuyển với nhau, ngay cả tại vận tốc tối đa. Bất kỳ những con kiến nào bắt đầu đủ gần để có thể di chuyển ngang qua nhau cũng không thể lớn hơn 2 cm trên giây, ngay cả nếu vũ trụ đang giãn nở.

Sự giãn nở của không gian chỉ giống như quả bóng, và kéo những thiên hà cùng với nó.

Hình ảnh của kính thiên văn không gian Hubble chụp những thiên hà xa xôi nhất trong vũ trụ.

3.4 Phương trình chất lưu

Phương trình Friedmann không thể sử dụng mà không có một phương trình mô tả sự biến đổi mật độ ρ của vật chất trong vũ trụ theo thời gian. Điều này bao gồm áp suất p của vật chất, và được gọi là phương trình chất lưu. [Không may ký hiệu chuẩn p cho áp suất giống với ký hiệu của mô-men, do đó trong cuốn sách này p sẽ luôn là áp suất] Như chúng ta sẽ thấy, những dạng khác nhau của vật chất có thể tồn tại trong vũ trụ là có áp suất khác nhau, và dẫn đến sự biến đổi khác nhau của mật độ ρ.

Chúng ta có thể suy ra phương trình chất lưu bằng cách sử dụng nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học:

$dE+pdV=TdS ,\;\;\; _{(3.11)}$

Áp dụng cho một thể tích giãn nở V trong đơn vị bán kính comoving. Điều này chính xác giống như việc áp dụng nhiệt động lực học cho chất khí trong piston. Thể tích có bán kính là a, sử dụng phương trình E=mc², thì năng lượng sẽ là:

$E=\frac{4\Pi}{3}a^{3}\rho c^{2} ,\;\;\; _{(3.12)}$

Sự thay đổi của năng lượng theo thời gian dt:

$\frac{dE}{dt}=4\pi a^{2}\rho c^{2}\frac{da}{dt}+\frac{4\pi}{3}a^{3}\frac{d\rho}{dt}c^{2} ,\;\;\; _{(3.13)}$

Trong khi sự thay đổi của thể tích là:

$\frac{dV}{dt}=4\pi a^{2}\frac{da}{dt} ,\;\;\; _{(3.14)}$

Giả sử rằng sự giãn nở là thuận nghịch dS=0, đưa vào phương trình (3.11) và sắp xếp lại, ta có:

$\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+\frac{p}{c^{2}})=0 ,\;\;\; _{(3.15)}$

Trong đó dấu chấm thể hiện đạo hàm theo thời gian. Đó gọi là phương trình chất lưu. Như chúng ta thấy, có hai số hạng làm thay đổi mật độ. Số hạng thứ nhất nằm trong dấu ngoặc tương ứng là sự pha loãng mật độ bởi vì thể tích tăng lên, trong khi số hạng số hai tương ứng năng lượng mất mát bởi vì áp suất của vật chất sinh công khi thể tích của vũ trụ tăng lên. Năng lượng này dĩ nhiên không biến mất; năng lượng luôn luôn bảo toàn. Năng lượng mất mát từ chất lưu thông qua thực hiện công biến thành thế năng hấp dẫn.

Không có áp lực trong vũ trụ đồng nhất, bởi vì mật độ và áp suất ở bất kỳ mọi nơi là như nhau. Gradient áp suất (sự biến đổi áp suất) sẽ sinh ra lực. Vì thế áp suất không đóng góp lực cho sự giãn nở; ảnh hưởng của nó chỉ là thông qua công thực hiện khi vũ trụ giãn nở.

Chúng ta vẫn chưa sẵn sàng để chứng minh phương trình, bởi vì bây giờ chúng ta chỉ biết ρ là cái gì nếu chúng ta biết áp suất p. Chúng ta đang xác định áp suất của loại của vật chất lấp đầy mô hình vũ trụ của chúng ta. Giả sử trong vũ trụ học có một áp suất đồng nhất và là hàm của mật độ, p ≡ ρ. Đây gọi là phương trình trạng thái (equation of state), và chúng ta sẽ thấy có hai ví dụ khác nhau trong chương 5. Một khả năng đơn giản nhất là không có áp suất, và trường hợp cụ thể đó được gọi là vật chất (không tương đối tính).

Một khi phương trình trạng thái được xác định, thì phương trình Friedmann và phương trình chất lưu là tất cả những gì chúng ta cần để mô tả sự phát triển của vũ trụ. Tuy nhiên, trước khi thảo luận về sự phát triển, tôi sẽ dành một ít thời gian để khám phá một vài tính chất chung của những phương trình, cũng như đề cập trong chương 4 để xem xét ý nghĩa của hằng số k. Nều bạn thích xem cách chứng minh những phương trình này, hãy tham khảo các mục từ 5.3 đến 5.5, và quay lại sau. Bạn có thể nhìn qua mục 3.6 để tìm hiểu tại sao hệ số c² biến mất một cách bí ẩn trong phương trình Friedmann.

3.5 Phương trình gia tốc

Phương trình Friedmann và chất lưu có thể được sử dụng để suy ra phương trình thứ 3, phụ thuộc vào hai phương trình đầu, mô tả sự gia tốc của hệ số tỉ lệ. Đạo hàm phương trình (3.10) theo thời gian, chúng ta được:

$2\frac{\dot{a}}{a}\frac{a\ddot{a}-\dot{a}^{2}}{a^{2}}=\frac{8\pi G}{3}\dot{\rho}+2\frac{kc^{2}\dot{a}}{a^{3}} ,\;\;\; _{(3.16)}$

Thay ρ từ phương trình (3.15) và khử hệ số 2ȧ/a:

$\frac{\ddot{a}}{a}-(\frac{\dot{a}}{a})^{2}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{p}{c^{2}})+\frac{kc^{2}}{a^{2}} ,\;\;\; _{(3.17)}$

Cuối cùng, sử dụng phương trình (3.10) một lần nữa, chúng ta đi đến một phương trình quan trọng gọi là phương trình gia tốc:

$\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^{2}}) ,\;\;\; _{(3.18)}$

Chú ý rằng nếu vật chất có áp suất, điều này làm tăng lực hấp dẫn, và vì vậy xa hơn sẽ làm giảm tốc sự giãn nở, tôi nhắc lại rằng không có lực nào liên quan đến áp suất trong vũ trụ đồng nhất, khi không có gradient áp suất.

Phương trình gia tốc không chứa hằng số k trong phương trình Friedmann, nó bị khử trong phép lấy vi phân.

3.6 Khối lượng, năng lượng và sự biến mất của hệ số c²

Bạn nên nhận thức rằng những nhà vũ trụ học có một thói quen sử dụng mật độ khối lượng ρ và mật độ năng lượng ε. Chúng liên quan đến phương trình nổi tiếng Einstein ε = ρc² và nếu được chọn là "đơn vị của tự nhiên" với c = 1, hai hệ số sẽ bằng nhau. Tuy nhiên, tôi sẽ cẩn thận để duy trì sự khác biệt. Chú ý rằng cụm từ "mật độ khối lượng" được sử dụng trong ý nghĩ của Einstein – nó bao gồm sự đóng góp vào khối lượng từ năng lượng của phần nhiều các hạt, cũng như bất kỳ khối lượng nghỉ nào mà chúng có.

Thói quen cho c = 1 nghĩa là phương trình Friedmann được viết lại mà không có hệ số c²:

$(\frac{\dot{a}}{a})^{2}=\frac{8\Pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^{2}} ,\;\;\; _{(3.19)}$

Hệ số k sau đó xuất hiện với đơn vị [thời gian]^-2 – đặt c = 1 làm cho đơn vị thời gian và chiều dài hoán đổi cho nhau. Bởi vì việc không có hệ số c² trong phương trình Friedmann được sử dụng rộng rãi trong các sách về vũ trụ học, nên tôi cũng sẽ không sử dụng nó trong cuốn sách này. Thực tế, nó là một tình huống hiếm gặp trừ khi phải chú ý cẩn thận về nó.

(Còn tiếp...)

MỤC LỤC - Vũ trụ học hiện đại

MỤC LỤC - Vũ trụ học hiện đại

Contact Us